MatLab: решение дифференциальных уравнений
Математический форум Math Help Planet
MatLab: решение дифференциальных уравнений
В левой части этого уравнения стоит третья производная искомой функции, в правой — функция только от , это уравнение вида 1. Поскольку , то последнее уравнение можно переписать так: Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного уравнения. Решение в среде MATLAB. Синтаксис команд MATLAB будет приведен ниже. Как видно, ответ совпадает с точностью до названия переменной. Решим уравнение численно и построим его график. Для этого необходимо составить задачу Коши то есть задать начальные условия ,. Это уравнение вида 1. Принимая низшую производную за новую неизвестную функцию , осуществим подстановку 1. Трижды интегрируя, получаем соответственно: Задаем интервал интегрирования, начальные условия, и производим поиск решения. Положим , тогда , поэтому уравнение имеет вид. Разделяя переменные в предположении, что и интегрируя, получим. Это решение получается из формулы А при. Последние находятся с помощью характеристического уравнения. Если характеристическое уравнение имеет действительных различных корней , то каждому из них соответствует частное решение. Однократным комплексно сопряженным корням уравнения 2. Комплексно сопряженным корням кратности соответствуют частные решения: Для данного уравнения с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение при этом нужно сохранить коэффициенты, вместо поставить 1, вместо ее производной -того порядка поставить: Преобразуя правую часть уравнения , получим. В соответствии с формулой 2. В соответствии с формулами 2. Мнимым сопряженным корням и для которых , соответствуют частные решения. Таким образом, общее решение имеет вид. Преобразуя левую часть этого уравнения, получим. Следовательно, комплексно сопряженные корни характеристического уравнения имеют кратность. Так как в данном случае , то в соответствии с формулами 2. Составим характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению: Преобразуя левую часть этого уравнения , получим. Таким образом характеристическое уравнение. Произведя указанное деление, получим. Итак, характеристическое уравнение примет вид. Это уравнение имеет два указанных простых действительных корня и два мнимых корня кратности. ДУ с правой частью с ДУ 2-го порядка ДУ 2-го порядка II Общее решение систем
Математический пакет MATLAB упростит решение дифференциальных уравнений. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений ODE могут быть применены численные методы, которые в MATLAB реализованы в специальных функциях-решателях Численное решение дифференциальных уравнений. Генерация случайных чисел в MatLab осуществляет функция randn n , m. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений ODE могут быть применены численные методы, которые в MATLAB реализованы в специальных функциях-решателях: Функции ode 23 и ode 45 предназначены для численного интегрирования систем ОДУ. Они применимы как для решения простых дифференциальных уравнений, так и для моделирования сложных динамических систем. Любая система нелинейных ОДУ может быть представлена как система дифференциальных уравнений 1-го порядка в явной форме Коши: Эти функции имеют следующие параметры: X - двумерный массив, где каждый столбец соответствует одной переменной. Функции ode 23 и ode 45 реализуют методы Рунге - Кутты с автоматическим выбором шага, описанные в работе [2]. Такие алгоритмы используют тем большее количество шагов, чем медленнее изменяется функция. Поскольку функция ode 45 использует формулы более высокого порядка, обычно требуется меньше шагов интегрирования и результат достигается быстрее. Для сглаживания полученных процессов можно использовать функцию interp 1. Пример Уравнение Ван-дер-Поля с заданной относительной погрешностью. Перечень строковых символов функции ODESET можно просмотреть из командной строки, набрав в ней ODESET. Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения с начальными условиями. Точное решение имеет вид. Выполним решение данной задачи с помощью программы ode Вначале в M -файл записываем правую часть уравнения, сам файл оформляем как файл-функция: В качестве примера рассмотрим известную задачу динамики популяций, где рассматривается модель взаимодействия "жертв" и "хищников", в которой учитывается уменьшение численности представителей одной стороны с ростом численности другой. Модель была создана для биологических систем, но с определенными корректурами применима к конкуренции фирм, строительству финансовых пирамид, росту народонаселения, экологической проблематике и др. Эта модель Вольтерра-Лотка с логистической поправкой описывается системой уравнений. Решая эту задачу при различных значениях a , получаем различные фазовые портреты обычный колебательный процесс и постепенная гибель популяций. Имеется возможность построения и трехмерного фазового портрета с помощью функции odephas 3. Например, решение задачи Эйлера свободного движения твердого тела: Еще один пример применения функций: Возвращает треугольную конечноэлементную сетку, построенную в расчётной области, геометрия которой описана в m -функции g. Обязательным является только первый входной параметр g. Имена ключевых параметров, их назначение и допустимые значения представлены в таблице: Параметры Jiggle и JiggleIter используются для управления уровнем регуляризации конечноэлементной сетки подробнее см. Хотя этот пакет является самостоятельным приложением и в ядро MATLAB не входит, мы приведем краткое описание некоторых его возможностей с парой примеров. Вы можете вызвать пакет с его графическим интерфейсом командой pdetool. Поскольку ряд применений пакета - PDETB связан с проблемами анализа и оптимизации трехмерных поверхностей и оболочек, в пакет введены удобные функции для построения их графиков. Они могут использоваться совместно с функцией pdeplot , что иллюстрирует следующий пример: В состав пакета входит ряд полезных демонстрационных примеров с именами от pdedemol до pdedemo 8. Их можно запустить как из командной строки путем указания имени , так из окна демонстрационных примеров Demos. Рассмотрим пример pdedemoS , решающий проблему минимизации параболической поверхности решением дифференциального уравнения. Ниже представлен текст файла pdedemo 3. Весьма интересны и поучительны примеры с анимацией: Переопределение сгущение треугольной сетки с помощью REFINEMESH. Возвращает переопределённую версию треугольной конечноэлементной сетки, представленной геометрией g , матрицей узлов p , матрицей граничных элементов e и матрицей треугольников t. См также decsg , pdegeom. Переопределяет сетку, а также доопределяет значения искомой функции во вновь сгенерированных узлах конечноэлементной сетки. Доопределение производится с помощью линейной интерполяции то есть применяются линейные функции формы. Строкам u и столбцам p соответствуют узлы. Строкам u 1 и столбцам p 1 соответствуют узлы переопределённой сетки. Каждый столбец u интерполируется отдельно. Если этот параметр задан, то сетка переопределяется сгущается только в указанных зонах или конечных элементах. Этот параметр может принимать одно из следующих значений: Некоторые треугольники вне указанного набора могут также быть переопределены, чтобы сохранить там триангуляцию и её качество. Формирование линейного массива равноотстоящих узлов LINSPACE. Решение параболической PDE задачи с помощью PARABOLIC. Возможны также следующие варианты вызова данной функции: Здесь rtol , atol - относительная и абсолютная погрешность решателя ODE. Производит решение скалярной PDE задачи, основанной на уравнении вида. Кодирование входных параметров c , a , f , d более подробно описано в assempde. В случае скалярной PDE задачи u 1 - матрица размера NP , length tlist , где NP - число узлов конечноэлементной сетки. Каждый столбец матрицы u 1 представляет собой узловое распределение искомой величины u в соответствующий момент времени. Каждый столбец матрицы u 1 состоит из N подстолбцов, каждый из которых представляет собой узловое распределение соответствующей искомой переменной в соответствующий момент времени. Пример решения параболическ ого уравнения. Главная Новости Правила О нас Контакты. Главная Рефераты Контрольные работы Курсовые работы Дипломные работы Другие работы О нас. Численное решение дифференциальных уравнений Категория: Лабораторная работа Предметная область: Информатика, кибернетика и программирование Описание: Решить задачу Коши Точное решение имеет вид Выполним решение данной задачи с помощью программы ode Переопределение сгущение треугольной сетки с помощью REFINEMESH Синтаксис. Формирование линейного массива равноотстоящих узлов LINSPACE Синтаксис: Решение параболической PDE задачи с помощью PARABOLIC Синтаксис. А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать Мистецтво як важлива склад
30 сущность права
Где найти полуночницу ведьмак 3
Снижение иммунитета причины
Как проходила московская битва каковоее значение
Правила набора номерав россию