Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Геометрическая интерпретация операций над случайными событиями/
12.2. ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ
4. Геометрическая интерпретация операций над событиями. Свойства операций.
Основы теории вероятностей
Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях. Основные понятия теории вероятностей. Операции над случайными событиями. Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и такого же опыта испытания, эксперимента протекает каждый раз несколько по иному. Случайным событием далее просто событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий , если в результате опыта должно появиться хотя бы одно из них. Примеры событий, образующих полную группу: Изображая случайное событие геометрическим множеством точек области , то несовместные события A и B изобразятся непересекающимися подмножествами рис. Из элементарных событий можно образовать составные разложимые события. Событие С называется составным, если можно указать по крайней мере два таких элементарных события и , что из осуществления каждого из них в отдельности следует факт осуществления события С. Элементарные события, входящие в состав составного события, называются благоприятствующими. Равновозможными событиями в данном опыте являются такие события, что по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другое. Невозможное пустое событие - это событие, не содержащее ни одного элементарного события и, следовательно, при реализации исследуемого случайного эксперимента его осуществление невозможно. В теории вероятностей над событиями производят различные операции, тесно связанные с алгеброй логики. Основными операциями являются сумма объединение , произведение пересечение , разность и взятие дополнения. Суммой или объединением событий А1, А2, Геометрическая интерпретация суммы событий показано на рис. Произведением или пересечением событий А1, А2, Геометрическая интерпретация произведения событий показано на рис. Операции сложения и произведения над событиями обладают рядом свойств, аналогичных свойствам обычных сложения и умножения чисел: Геометрическая интерпретация разности событий показано на рис. Составные события можно представить в виде комбинаций элементарных или более простых событий, применяя рассмотренные выше операции. А1, А2, А3 - выигрыш первого, второго, третьего билета, соответственно; , - проигрыш первого, второго, третьего билета, соответственно. Рассмотрим составное событие В, состоящие в том, что из трех билетов только один может оказаться выигрышным. Очевидно, что событие В можно представить в следующей комбинации: Используя эти формулы, которые легко проверяются самостоятельно, можно представлять составные события в более простом аналитическом виде. Понятиями теории вероятностей являются случайное явление; случайное событие, полная группа событий, элементарное событие, составное событие, несовместимые события, совместимые события, достоверное событие, невозможное событие, противоположное событие, равновозможные события. Основными операциями над случайными событиями являются сумма объединение , произведение пересечение , разность и дополнение. Любое составное событие можно представить в виде комбинаций элементарных событий или более простых событий. Каким событием является появление или "червонной" или "бубновой", или "трефовой", или "пиковой" масти при вынимании одной карты из колоды в 36 листов? Является ли событие "хотя бы раз при четырехкратном бросании игральной кости появится шестерка" составным? Если к полной группе событий добавить любые другие события, нарушится ли полнота событий? При бросании игральной кости событию А - "появление четного числа очков" благоприятствующими событиями являются: При вытягивании одной карты из колоды 36 карт, какие события являются равновозможными? Бросают две игральные кости. Пусть А - событие, состоящие в том, что сумма очков нечетная; В - событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала двойка. Пусть А, В, С - три произвольные события. Напишите выражение для события, состоящего в том, что произошли хотя бы два события. Пусть А, В, С - три произвольных события. Напишите выражение для события, состоящего в том, что произошло одно событие. Пусть А, В, С - случайные события. Основные теоремы теории вероятностей. Одной из важнейших характеристик случайного события является его вероятность, которую в большинстве практических задач связывают с эмпирическим понятием частоты события. Частотой Р события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний m, в которых появилось данное событие, к общему числу испытаний n: Частота событий обладает следующими свойствами: Частота случайного события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей: Частота достоверного события равна единице. Частота невозможного события равна нулю. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме частот этих событий: Частота произведения двух событий равна произведению частоты одного из них на условную частоту другого. Условной частотой называют частоту одного события, вычисленную при условии наступления другого события, обозначают Следовательно, Вероятностью события А называется постоянное число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения количества опытов статистическое определение вероятности события. При небольшом числе опытов, частота события носит в значительной мере случайный характер. Пусть, например, опыт - бросание монеты, событие А - "появление герба". Хотя вероятность события в самой своей основе связана с опытным, практическим понятием частоты события, однако для ее определения не всегда есть возможность провести большое число опытов. Если пространство , связанное с опытом, состоит из конечного числа равновозможных элементарных событий то вероятность любого случайного события А в таком опыте равна отношению числа m благоприятствующих ему элементарных событий к их общему числу n классическое определение вероятности событий: Если пространство содержит бесконечное множество элементарных событий, то может быть использовано геометрическое определение вероятности, когда вероятность попадания точки в любую область пропорциональна мере этой части длине, площади, объему и не зависит от ее расположения и формы. Если геометрическая мера всей области S, а геометрическая мера части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию А, есть , , то вероятность события В общем случае, когда множество элементарных событий является непрерывным, строится аксиоматическая теория вероятностей. При этом для того, чтобы теория вероятностей хорошо согласовалась с опытом, аксиомы теории вероятностей вводятся таким образом, чтобы вероятность события обладала основными свойствами частоты события. Вероятностью события Р А события А называется определенная на действительная функция, удовлетворяющая трем аксиомам: Вероятность события А есть неотрицательное число: Вероятность достоверного события равна единице: Вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Из аксиом 1, 2, 3 следует, что в частности, вероятность невозможного события равно нулю. Из аксиомы 3 следует связь между вероятностями прямого или противоположного событий: Вводимая далее аксиома 4 определяет условную вероятность. Два события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них меняется в связи с наступлением или не наступлением другого. В противном случае события А и В называются независимыми. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий: Задачи на вычисление частоты событий и их вероятностей. Среди изготовленных деталей оказалось пять, не отвечающих стандарту. Определить частоту появления деталей, не отвечающих стандарту. Из определения частоты получаем, что Задача 2. Среди 25 студентов группы, в которой десять девушек, разыгрывается пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей окажутся две девушки. Число всех равновозможных случаев распределить пять билетов среди 25 студентов равно числу сочетаний Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно С. Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из десяти девушек, а число таких пар равно С. Таким образом, число групп по пять студентов, в каждую из которых будут входить трое юношей и две девушки, равно произведению Это произведение равно числу благоприятствующих рассматриваемому событию случаев. Из классического определения вероятности события, получаем: В любые моменты интервала времени Т равновозможны поступления двух телефонных звонков. Абонент не сумеет ответить на оба звонка, если разность между моментами поступления сигналов будет меньше. Определить вероятность Р А того, что абонент не сумеет ответить на оба звонка. Изобразим случайные моменты поступления звонков в виде декартовых координатах на плоскости. Областью возможных значений является квадрат площадью рис. Абонент не сумеет ответить на два звонка, если рис. При определении вероятности составных событий используют основные теоремы теории вероятностей, являющиеся следствием приведенных выше аксиом и определений. Вероятность появления какого-либо одного из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице. Вероятность события, противоположного данному, равна разности между единицей и вероятностью данного события, то есть Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Вероятность произведения событий ABC KL равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место, то есть P ABC Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: Отметим, что вероятность появления хотя бы одного события из совокупности любого числа совместных событий легче производить, если перейти к противоположным событиям. Тогда вероятность появления хотя бы одного из совместных событий А, В, С, Мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,15; во вторую - 0,23; в третью - 0, Обозначим событие - промах, А - попадание в мишень. Тогда где - попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны. По теореме сложения вероятностей: В урне 2 белых и три черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Событие А представляет собой произведение двух событий: По теореме умножения вероятностей На практике редко встречаются задачи, в которых нужно применять только теорему умножения или сложения вероятностей. Обычно обе теоремы приходится применять совместно. В урне 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимаются один за другим два шара. Найти вероятность того, что они будут разных цветов. Вероятности событий найдем по теореме умножения вероятностей. По теореме сложения вероятностей. Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей - является так называемая формула полной вероятности. Если событие А может произойти только совместно с одним из событий образующих полную группу несовместных событий гипотез , то вероятность Р А появления события определяется по формуле полной вероятности: Имеются три одинаковые на вид урны: Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Н - выбор первой урны; Н - выбор второй урны; Н - выбор третьей урны, и событие А - появление белого шара. Так как гипотезы, по условию задачи, равновозможны, то Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: По формуле полной вероятности: Теорема гипотез формула Байеса. Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез или формула Байеса. Если вероятности несовместных гипотез образующих полную группу событий, до опыта были а в результате опыта появилось событие А, то условная вероятность с учетом появления события А вычисляется по формуле Байеса: В частном случае, если все гипотезы до опыта имеют одинаковую вероятность формула Байеса принимает вид: Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку. До опыта возможны следующие гипотезы: Н - ни первый, ни второй стрелок не попадет; Н - оба стрелка попадут; Н - первый попадет, а второй нет; Н - первый стрелок не попадет, а второй попадет. Условные вероятности наблюденного события А при этих гипотезах равны: Вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку в соответствии с теоремой гипотез равна: Теорема о повторении опытов. При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. Причем интерес представляет не событие А в каждом опыте, а общее число появления события А в серии опытов. Опыты называются независимыми, если вероятность исхода каждого опыта не зависит от исходов других опытов. Если опыты производятся в одинаковых условиях, то вероятность события А во всех опытах одинакова. Если условия различны, то вероятность меняется от опыта к опыту. Частная теорема о повторении опытов формулируется следующим образом. Если вероятность p наступления события А в каждом из n независимых опытов постоянна, то вероятность того, что в n опытах событие А наступит m раз определяется формулой: Это формула выражает биномиальное распределение вероятностей, так как все вероятности Р являются членами разложения бинома Вероятность появления события А не менее m раз при n опытах вычисляется по формуле: Частная теорема о повторении опытов касается того случая, когда вероятность события А во всех опытах одна и та же. На практике часто приходится встречаться с более сложным случаем, когда опыты производится в неодинаковых условиях, и вероятность события от опыта к опыту меняется. Способ вычисления вероятности заданного числа появлений события в таких условиях даст общая теорема о повторении опытов. Если производятся n независимых опытов в различных условиях, причем вероятность появления события А в i-м опыте равна то вероятность Р того, что событие А в n опытах появится m раз, равна коэффициенту при Z в разложении по степеням Z производящей функции где Задача 1. Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0, Какова вероятность того, что среди десяти изделий не более одного нестандартного? Пусть событие А состоит в том, что среди десяти изделий нет ни одного нестандартного изделия, а событие В - в том, что среди десяти изделий только одно нестандартное. Применяя частную теорему о повторении опытов, найдем: Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из изделий. Подставляя соответствующие числа в неравенство получаем Поскольку может быть только целым числом, то Выводы: Современная аксиоматическая концепция теории вероятностей не противоречит предложенным ранее статистическому, классическому и геометрическому определениям вероятности события. В общем непрерывном вероятностном пространстве в отличие от дискретного могут существовать возможные события, обладающие нулевой вероятностью появления. Соответственно противоположные к ним события их дополнения хотя и не могут быть названы достоверными, но имеют вероятность осуществления, равную единице. Основные правила вычисления вероятности составных событий задаются теоремами сложения, умножения, Байесса и формулой полной вероятности. Частная и общая теоремы о повторении опытов позволяют определить вероятность того, что в n опытах событие наступит m раз для случая независимых и зависимых опытов, соответственно. На складе хранится аккумуляторов. Известно, что после года хранения 20 штук выходит из строя. Требуется найти вероятность того, что наугад взятый после года аккумулятор окажется исправным, если известно, что после 6 месяцев хранение было изъято 5 аккумуляторов, ставших неисправными. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка пустая - выстрела не происходит. Найти вероятность того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово "книга". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получилось слово "книга". В урне а белых шаров и в черных. Из урны вынимается один шар, отмечается его цвет и шар возвращается в урну. После этого из урны берется еще один шар. Найти вероятность того, что оба вынутые шара будут белыми. При включении зажигания двигатель начинает работать с вероятностью p. Найти вероятность того, что двигатель начнет работать при втором включении зажигания. В урне пять перенумерованных шаров с номерами 1,2,3,4,5. Из урны один за другим вынимаются все пять шаров. Найти вероятность того, что их номера будут идти в возрастающем порядке. Основы теории вероятностей Теория вероятностей это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях. Чупрынин основы теории упругости Шутенко Л. Основы теории упругости и пластичности Учебное пособие для студентов строительных специальностей Элементарное введение в теорию вероятностей. Курс теории вероятностей Гнеденко Б. Приложения теории вероятностей в инженерном деле. Основы теории и расчета.
Батальон сомали новости
Львов туристический маршрут
Спбглту приказы о зачислении 2016
2.Случайные события , их классификация. Действия над событиями
Правила поведения учащихся в учебном кабинете
Таблица для глаз по жданову
Как настроить карбюратор mikuni vm22
Случайные события, операции над событиями и отношения между ними. Пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности. Теорема сложения вероятностей
Lonestar amazed перевод
1.1 понятие первой медицинской помощи
Основные операции над случайными событиями
Мультиметр инструкция видео
Какими программами проверить ноутбук
Бутерброды в мультиварке
Понятие события, операции над событиями
Аптека от склада тула официальный сайт каталог