Производная в курсе алгебры средней школы
Понятие производной
1. Понятие производной
В таком случае, пожалуйста, повторите заявку. Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:. Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи около - гг. В 17 веке на основе учения Г. Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс. Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. Этим значениям на кривой соответствует точка M x 0 , y 0. При этом, ее угловой коэффициент:. Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями. Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t:. Найти уравнение касательной плоскости в точке 2a; a; 1,5a гиперболического параболоида. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения:. Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T 1 - T, на 1 кг. Таким образом, для данного вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:. Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции. По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума:. Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале a, b , если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной. Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей. Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса E D - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию. Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. Предельный показатель показатели функции - это ее производная в случае функции одной переменной или частные производные в случае функции нескольких переменных. В экономике часто используются средние величины: Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление. Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бульшую точность. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:. Периодический случай P т. Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах. Можно доказать, что это разложение единственно:. Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f x необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора:. В учебниках Алимова и Башмакова вначале определение производной дается через механический смысл: Это соответствие, пожалуй, наиболее доступно для понимания школьника. Башмаков же последовательно и детально рассматривает механический и геометрический смысл, рассматривая производную на разных случаях, и только потом переходит к точному определению. Подход Колмогорова отличается тем, что глава, посвященная производной, начинается с пункта, в котором дается определение приращения функции. Понятие приращения рассматривается на примерах. Третий пример показывает, как найти угловой коэффициент секущей через приращение. В следующем пункте автор объясняет, что такое касательная к графику функции и дает определение мгновенной скорости. Проанализировав систему ознакомления учащегося с понятием производной в этих учебниках, можно выявить следующие особенности: Далее, понятие производной обогащается новыми приложениями и свойствами и все это немедленно подкрепляется задачами. Колмогоров и Башмаков стремятся вначале подвести достаточно большую базу примеров и соответствий, опираясь на более легкие по усвояемости понятия и затем приступить к вычислениям. У Колмогорова и Башмакова понятие касательной к графику функции начинается с аналогии. Важно установить связь у учеников между абстрактным понятием касательной и уже освоенными геометрическими объектами, интуитивные образы которых уже сформированы в сознании. Так, увеличивая масштаб графика функции, авторы обращают внимание школьников на то, что график все больше становится похож на прямую. Также они замечают, что, проводя отрезки между точками графика, мы можем получить его приближенное изображение. Алимов аналогиями пренебрегает, зато дает конкретное определение геометрического смысла производной: Определение касательной и вывод ее формулы дается через рассмотрение хорд см. Используются приращения и пределы. Колмогоров дает определение понятия непрерывности функции: Вообще, в этом пункте автор очень углубляется в математический анализ и довольно скрупулезно разбирает свойство непрерывности и предельный переход. У Башмакова предельный переход объясняется на примерах, не вдаваясь в подробности. В учебниках Башмакова и Колмогорова все эти формулы выводятся, каждый шаг объясняется. Учебник Алимова содержит доказательства только двух первых формул, зато к каждой формуле есть по примера. Вначале автор дает определение сложной функции, затем выводит формулу и приводит несколько примеров нахождения производной сложных функций. Алимов решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее частный случай — линейную замену аргумента:. Эта формула, конечно, гораздо менее емкая, зато ее доказательство короче и менее абстрактно. Башмаков же включил в учебник обе формулы. С другой стороны, помещая производные в самый конец учебника, сложность материала может повышаться неравномерно, что может сказаться на успеваемости. Башмаков посвящает вычислению производной через приращения целый пункт, где выводит 5 формул для линейной функции, квадрата, куба, гиперболической функции, корня. С этого пункта и начинается собственно вычисление производных. Далее, после рассмотрения правил дифференцирования, выводится формула производной степени. Производные показательной и логарифмической функций рассматривается в соответствующей главе, а производные тригонометрических функций вовсе исключены из курса. В учебнике Колмогорова формулы производных показательной и логарифмической функций также выводятся и применяются в решении задач позже. Кстати говоря, в ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение:. Доказательство усложнено тем, что переменная выступает как угол и длина, необходим переход от длины дуги к длине отрезка. Он обосновывается довольно расплывчато, но объяснения интуитивно вполне понятны. Имея в распоряжении формулу производной синуса, нетрудно найти производные остальных функций. Алимов рассматривает степенную функцию перед правилами дифференцирования, а формулы производных других элементарных функций показательной, логарифмической, тригонометрических — после и в отдельном пункте. Доказательство приводится только для синуса, но для каждой функции есть решенная задача. Удобство заключается в том, что все элементарные функции и правила дифференцирования рассматриваются последовательно и нет необходимости возвращаться к уже пройденному материалу. В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две теоремы: Колмогоров доказывает эти признаки на основе формулы Лагранжа:. Алимов доказательство не приводит. Основополагающими теоремами в этом пункте являются: Согласно просматривающемуся стилю авторов, Колмогоров методично доказывает каждую теорему, Алимов делает упор на рассмотрение задач, а Башмаков по возможности в доказательствах и рассуждениях обходится без формул, предпочитая рассказ о свойствах производной. Замечу, что Башмаков выделил пункт для рассмотрения т. Это точки, в которых производная не существует, но функция может быть непрерывной. Кроме того, там же рассматривается важнейший метод исследования поведения функции — метод интервалов. Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной — как найти скорость ускорение — производная от скорости — вторая производная функции. Учебник Башмакова показывает, как производная используется также при нахождении таких физических характеристик, как сила, импульс, кинетическая энергия. Разъясняется суть понятия дифференциала: Рассказывается, как с помощью дифференциала можно найти заряд, работу, массу тонкого стержня, теплоту. Колмогоров также приводит примеры использования производной в физике: Также он объясняет с помощью производной принцип действия параболических телескопов. Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и Башмакова. Авторы указывают на сходство графиков функции и касательной и значения будут ненамного различаться при достаточно малом приращении. Эта тема носит практический характер. Учебник под редакцией Колмогорова характеризуется большим объемом материала по производной и высокой степенью детальности. Как следствие — высокий уровень подготовки и некоторая сложность в понимании. Этот учебник по праву наиболее часто используется в обычных школах. Вместе с оценкой стоимости вы получите бесплатно БОНУС: Даю согласие на обработку персональных данных и получить бонус. Спасибо, вам отправлено письмо. Если в течение 5 минут не придет письмо, возможно, допущена ошибка в адресе. Производная в курсе алгебры средней школы Южно-Сахалинский Государственный Университет Кафедра математики Курсовая работа Тема: Производная в курсе алгебры средней школы Автор: Южно-Сахалинск г Введение В первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее истории и областях ее применения. Во второй главе будет детально рассмотрен курс изучения производной трех учебников по алгебре и началам анализа для кл. Алимова, Башмакова и под редакцией Колмогорова. Цель курсовой работы — раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала и дать рекомендации по поводу использования этих учебников. Производная и ее применение 1. Исторические сведения Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач: Геометрический смысл производной Касательная к кривой Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. При этом, ее угловой коэффициент: Касательная плоскость к поверхности Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t: Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид: Найти уравнение касательной плоскости в точке 2a; a; 1,5a гиперболического параболоида Решение: Использование производной в физике Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения: Теплоемкость вещества при данной температуре Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T 1 - T, на 1 кг. Мощность Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Дифференциальное исчисление в экономике Исследование функций Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума: Эластичность спроса Эластичностью функции f x в точке x 0 называют предел Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Предельный анализ Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. Предельный показатель показатели функции - это ее производная в случае функции одной переменной или частные производные в случае функции нескольких переменных В экономике часто используются средние величины: Производная в приближенных вычислениях Интерполяция Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения: Заданное сглаживание на границах: Функция периодическая, поэтому используем случай P. Формула Тейлора Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Можно доказать, что это разложение единственно: Пусть функция f x бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида называется рядом Тейлора для функции f x , записанным по степеням разности x - a. С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций: Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора: Извлечь квадратный корень из Решение: С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений: Производная в школьном курсе алгебры 1. Понятие о производной Понятия о непрерывности и предельном переходе Правила вычисления производных Производная сложной функции Применение непрерывности и производной Касательная к графику функции Применение производной к исследованию функций Признак возрастания убывания функции Критические точки функции, максимумы и минимумы Примеры применения производной к исследованию функции Наибольшее и наименьшее значения функции Алимов: Геометрический смысл производной Глава VI. Наибольшее и наименьшее значения функции Башмаков: Приложения производной Скорость и ускорение Скорость криволинейного движения Дифференциал Дифференциал в физике Задачи на максимум и минимум Приближенные формулы 2. Определение производной В учебниках Алимова и Башмакова вначале определение производной дается через механический смысл: Геометрический смысл производной У Колмогорова и Башмакова понятие касательной к графику функции начинается с аналогии. Непрерывность функции и предельный переход Колмогоров дает определение понятия непрерывности функции: Правила дифференцирования Напомним основные правила дифференцирования: Алимов решил упростить данный раздел, заменив формулу сложной функции на ее частный случай — линейную замену аргумента: Кстати говоря, в ходе вывода формулы производной синуса, доказывается следующее утверждение: Возрастание и убывание функций В начале раздела о исследовании функций в учебнике Башмакова приводятся две теоремы: Колмогоров доказывает эти признаки на основе формулы Лагранжа: Экстремумы функций Основополагающими теоремами в этом пункте являются: Схема исследования функций Колмогоров: Применение производной в физике Ранее уже был рассмотрен механический смысл производной — как найти скорость ускорение — производная от скорости — вторая производная функции. Приближенные вычисления Формула для приближенных вычислений разбирается в учебнике Колмогорова и Башмакова. Заключение Принимая в расчет вышеизложенное, я могу дать такую характеристику этим учебникам: Учебник Алимова делает больший упор на практическую сторону. В тексте много примеров решения задач, некоторые пункты даже целиком состоят из них. К каждому пункту прилагается большой набор задач для самостоятельного решения. Доказательства — слабая сторона учебника, т. Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в классах Сущность формирования понятий, его общая схема и особенности, этапы реализации и возможные пути. Классификация понятий и ее методика для математических дисциплин. Определение как завершающий этап формирования понятия, его разновидности и особенности. Сравнительный анализ методик преобразований Галилея в курсе общей физики и в курсе элементарной физики Понятие и сущность идеи относительности в кинематике, ее характеристика и отличительные черты, основные принципы и история создания, современные знания. Методика преподавания кинематики и знания, которые должны усвоить учащиеся, характерные задачи. Начала систематического курса планиметрии в средней школе Методика ознакомления учащихся с аксиомами в курсе школьной геометрии, традиционно-синтетический координатно-векторный методы, роль аксиом в построении школьного курса. Методика введения понятий и теорем, схема изучения признаков равенства треугольников. Начала систематического курса стереометрии в средней школе Методическая схема изучения теорем и их доказательства на примере признака параллельности прямой и плоскости. Сущность аксиом стереометрии, их роль при доказательстве теорем, иллюстрация на моделях. Методка изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Решение задач на экстремум История развития и способы решения задач на экстремумы. Применение уровневой дифференциации в обучении математике на примере темы "Задачи на экстремум". Плюсы и минусы уровневой дифференциации. Методические основы обучения решению задач на экстремумы. Изучение метода координат в курсе геометрии основной школы Теоретические основы использования метода координат в основной школе. Методические основы изучения метода координат. Этапы решения задач методом координат. Задачи, обучающие координатному методу. Методика преподавания курса "Матричные игры" Изучение основных понятий теории игр и первичное знакомство с матрицами с целью развития математических способностей учеников. Графоаналитический метод решения матричных игр и решение систем неравенств графическим методом. Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа Общие вопросы изучения тригонометрических функций в школе. Анализ изложения темы "Тригонометрические функции" в различных школьных учебниках. Методика преподавания темы в курсе алгебры и начал анализа. Обучение общим методам решения задач Пермский государственный педагогический университет. Министерство образования Российской федерации. Кафедра методики преподавания математики. Математика и физика в средней школе Содержание: Математика и физика в средней школе. Принцип связи физик с другими учебными предметами. Содержание межпредметных связей физики и математики. Графические работы на уроках стереометрии в средней школе Пространственное мышление в учебной деятельности, формируемое на графической основе. Зависимость структуры пространственного образа от его функций в решении графических задач. Работа с геометрическими образами по теме "Параллельность в пространстве". Методические особенности введения показательной функции в курсе математики средней школы Методика формирования понятия показательной функции в курсе средней школы, его историческое развитие и подходы к определению. Составление плана-конспекта урока объяснения нового материала на тему "Показательная функция", закрепление полученных знаний. Свойство медиан треугольника Сахалинский Государственный Университет Институт Естественных Наук План урока геометрии Тема: Свойство медиан треугольника Меркулов М. Решение простейших тригонометрических уравнений. Сахалинский Государственный Университет Институт Естественных Наук План урока алгебры Тема: Перпендикуляр Разработка хода урока по геометрии на тему "Перпендикуляр". Определения перпендикулярности различных объектов, доказывание признаков и свойств перпендикулярности, способы нахождения расстояний и углов между прямыми, прямой и плоскостью, плоскостями. Методы решения задач на построение Основные понятия и общие аксиомы конструктивной геометрии. Геометрическая задача на построение и ее решение. Порядок разработки практических занятий по теме "Методы решения задач на построение", оценка их практической эффективности в изучении темы. Элементы интегрального исчисления в курсе средней школы Определение методической схемы преподавания материала: Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики Рассмотрение методики введения в школьный курс математики понятий синуса, косинуса, тангенса, основных тригонометрических тождеств на геометрическом и алгебраическом материалах , функций, преобразований, способов решения уравнений и неравенств. Физические модели при изучении интеграла в курсе алгебры и начал анализа в классах Психолого-педагогические основы изучения интеграла в школьном курсе математики. Анализ школьных учебников алгебры и начал анализа. Физические модели при изучении темы "Интеграл". Изучение свойств определенного интеграла с помощью физических моделей. Категории Авиация и космонавтика Административное право Арбитражный процесс 29 Архитектура Астрология 4 Астрономия Банковское дело Безопасность жизнедеятельности Биографии Биология Биология и химия Биржевое дело 79 Ботаника и сельское хоз-во Бухгалтерский учет и аудит Валютные отношения 70 Ветеринария 56 Военная кафедра География Геодезия 60 Геология Геополитика 49 Государство и право Гражданское право и процесс Делопроизводство 32 Деньги и кредит Естествознание Журналистика Зоология 40 Издательское дело и полиграфия Инвестиции Иностранный язык Информатика 74 Информатика, программирование Исторические личности История История техники Кибернетика 83 Коммуникации и связь Компьютерные науки 75 Косметология 20 Краеведение и этнография Краткое содержание произведений Криминалистика Криминология 53 Криптология 5 Кулинария Культура и искусство Культурология Литература:
Понятие производной - Лекция, раздел Математика, Лекция 5. Возьмем на этом графике точку М 0 x 0 , у 0. Дадим переменной х приращение D x и переместимся по графику из точки М 0 в точку М с координатами: При перемещении из точки М 0 в точку M значение функции изменилось на величину D у. Это изменение называется приращением функции и вычисляется так:. Проведем секущую прямую М 0 М. Тангенс угла наклона к оси ОХ угловой коэффициент секущей может быть найден из прямоугольного треугольника М 0 МN как отношение противолежащего катета MN к прилежащему M 0 N:. Угол b наклона секущей к положительному направлению оси OX превратится в угол наклона касательной a. Тогда угловой коэффициент касательной прямой k получим так:. Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X , называется дифференцируемой на этом промежутке. Производную функции f х можно вычислять при различных значениях х не только в точке х 0 , то есть величина производной зависит от значения аргумента х. Эта тема принадлежит разделу: Производная и дифференциал Лекция Производная и дифференциал Понятие производной Рис Схема нахождения производной следует из ее определения Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:. Механический, физический и экономический смысл производной Механический смысл производной: Угол между кривыми Определение. Углом между кривыми на плоскости в их общей точке М х0, у0 называется наименьший из двух возможных угол между касате. Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции Между понятиями непрерывности и дифференцируемости существованием конечной производной существует простая связь. Одно из определений непрерывности гласит, что функция называется н. Тогда производная в этой точке x определятся. Как следует из рис. Основные свойства дифференциала Непосредственно из определения дифференциала и правил нахождения производных имеем: Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право. Это изменение называется приращением функции и вычисляется так: Тангенс угла наклона к оси ОХ угловой коэффициент секущей может быть найден из прямоугольного треугольника М 0 МN как отношение противолежащего катета MN к прилежащему M 0 N: Тогда угловой коэффициент касательной прямой k получим так: Другие обозначения производной функции в точке х 0: Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Что будем делать с полученным материалом: Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях: Все темы данного раздела: Углом между кривыми на плоскости в их общей точке М х0, у0 называется наименьший из двух возможных угол между касате Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции Между понятиями непрерывности и дифференцируемости существованием конечной производной существует простая связь. Подпишитесь на Нашу рассылку. Новости и инфо для студентов Свежие новости Актуальные обзоры событий Студенческая жизнь. Соответствующий теме материал Похожее Популярное Облако тегов. О Сайте Рефераты Правила Пользования Правообладателям Обратная связь.
Intel e6700 характеристики
9 заполните таблицу
Расписание поездов самара алматы
История власа лентяя и лоботряса мультфильм
История создания ревизора