Eberlein Exam Protocols

futures_and_options.md

Futures and Options

• Forwards und Hedging mit Forwards
• Futures (Unterschiede zu Forwards, Marginabrechnung)
• Zinssätze
• Forward Rate, realisierung von Forward Rates
• Absicherung gegen variable Verzinsung, Cap/Floor
• Swaps (Definition und Beispiele)
• Fixed-for-Floating Zinsswap (Genaue Definition und Herleitung der Swap Rate)
• Einperiodenmodell
• Bewertung im Einperiodenmodell über duplizierendes Portolio und diskontierte Erwartung
• Welche Futures werden in Frankfurt gehandelt?
• Beispiele für Zinsfutures
• Berechnung von Futurepreisen
• Bootstrappingmethode (skuzessives Ausrechenen von Nullcoupon Zinsen)
• Unterschiede Handel an der Börse zu OTC.
• Beweis Futures- und Forwardspreis identisch
• Swap Rate?
• Welche Zahlungsströme treten bei Credit Default Swaps auf?

wtii.md

WT II

Martingale

• Definition
• Was für ein Objekt aus der Analysis verallgemeinert das Martinal?
• Beispiele (Brownsche Bewegung)
• Konvergenzsätze
• Beweisidee Martingalkonvergenzssatz von Dobb über Downcrossings
• Warum ist (E(X_{infty}|A_n))_n ein Martingal?
• OST
• Stoppzeiten
• Doob Zerlegung (Beweis)
• Darstellungssatz
• Hinreichende Bedingung für Konvergenz (gleichgradige Integrierbarkeit für L¹ Konvergenz)
• Standardbeispiel: Summe von unabhängigen, zentrierten Zufallsvariablen mit Beweis

Konvergenz

• Grenzwersätze für schwache Konvergenz (-> verallgemeinerterter zentraler Grenzwertsatz)
• Definition der Konvergenz in Verteilung
• Definition der schwachen Konvergenz, Problematik das die Bairsche Sigma Algebra sehr groß ist.
• Äquivalente Bedingung über vage Konvergenz
• Stetigkeitssatz von Lévy, Beweis das es genügt {cos(ax), sin(ax) | a\in R} zu betrachten
• Definition Straffheit, trennende Menge
• Lindebergbedingung und Definition von dreieckigen Schemata

Unbegrenzt teilbare Maße

• Unbegrenzt teilbare Verteilungen
• Lévy-Khintchine-Formel
• Interpretation der drei Faktoren in der Lévy-Khintchine-Formel
• Faltung von zwei Maßen
• Zusammenhang Faltung und zentraler Grenzwersatz
• Beispiele
• Wieso sind ungebrenzt teilbare Maße interessant?

Fouriertransformation und charakteristische Funktion

• Definition, Existenz
• charakteristische Funktion der Summe von unabhängigen Zufallsvariablen ist ein Produkt der einzelnen charakteristischen Funktione (Beweis)
• Charakterisierung der Fouriertransformierten über den Satz von Bochner
• Umkehrformel (stetige Verteilungsfunktion)
• Zusammenhang mit Stetigkeitssatz von Lévy (wichtigste Anwendung, da Verkleiernung der Klasse der Funktionen)
• Beweis Injektivität
• Für welche Maße is die Fouriertransformiert reell? (Bochner, Herglotz)

Bedingte Erwartung

• Definition
• Existenzbeweis über Radon-Nikodym
• Berechnung über reguläre bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Definition, Existenzsatz, Polnische Räume über reguläre bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Eigenschaften bzw. Rechenregeln
• Beweis \int T(w)K(x, dw) = E(T\circ x | Y=x) für T=1_A\circ X, danach algebraische Induktion.
• Beweis Existenz der regulären Bedingten Erwartung über vollständig, separable, metrisch, usw.

Stochastische Prozesse

• Was ist der Standard stochastische Prozess? (Brownsche Bewegung)
• Konstruktion der Brownschen Bewegung über
  • Satz von Kolmogorov
  • Faltungshalbgruppe
  • Markovsche Halbgrupee
  • endlichdimensionale Randverteilungen
  • Pfadeigenschaften
  • Satz von Kolmogorov-Prohorov
• Version, stetige Version
• stochastiches Exponential (Nachweis der Martingaleigenschaft)
• Wieso zittert die Brownsche Bewegung?
• Eigenschaften der Brownschen Bewegung
• Beweis Brownsche Bewegung ist ein Martingal
• Skorokhod und Donskers Invarianzprinzip für die Brownsche Bewegung
• Berechnung von P(X_t\in B| X_s =x)=K_{t-s}(x,B)
• Beweis Brownsche Bewegung erfüllt die starke Markoveigenschat

Verschiedenes

• Satz von Helly
• Bedeutung auf lokalkompakten Räumen mit abzählbarer Basis
• Projektiver Limes
• Poisson Prozess als Beispiel für einen Prozess mit beschränkter Variation