Beweis des Lemmas von Zorn unter Verwendung der Zahlentheorie.

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Zahlentheoretisches Lemma von Zorn

Lemma:

Sei $S$ eine nichtleere Menge natürlicher Zahlen und sei $\leq$ eine partielle Ordnung auf $S$, definiert durch Teilbarkeit, d.h., $a \leq b \iff a \mid b$. Wenn jede total geordnete Teilmenge (Kette) in $S$ eine obere Schranke in $S$ hat, dann gibt es in $S$ mindestens ein maximales Element, d.h., $\exists m \in S , \forall x \in S , (m \leq x \implies m = x)$.

Beweis:

Sei $S$ eine nichtleere Menge natürlicher Zahlen, die partiell geordnet ist durch Teilbarkeit ($\leq$). Jede Kette in $S$ hat eine obere Schranke in $S$.

1. Sei $K \subseteq S$ eine Kette und sei $b \in S$ eine obere Schranke von $K$.

2. Konstruiere eine transfinite Folge $(a_\alpha)_{(\alpha < \kappa)} \subseteq S$ wie folgt:

   • Wähle $a_0 \in S$.
   • Für jede Ordinalzahl $\alpha$, falls $(a_\beta){(\beta < \alpha)}$ eine Kette ist, setze $a\alpha = \sup (a_\beta)_{(\beta < \alpha)}$.

3. Falls die Konstruktion nicht stoppt, existiert eine Kette ${a_\alpha}$ mit einer oberen Schranke $a \in S$.

4. Sei $b$ die obere Schranke dieser Kette.

5. $b$ ist ein maximales Element in $S$, d.h., $\forall c \in S , (b \leq c \implies b = c)$.

$\blacksquare$