Groepen & Ringen huistaak 2

ger2.tex

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[dutch]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{enumerate,microtype,parskip,mathpazo}

\frenchspacing
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\lhead{Lynn Van Hauwe}
\rhead{Huistaak Groepen \& Ringen 26 februari 2018}

\begin{document}
\newcommand{\id}{\mathsf{id}}
\newcommand{\ind}{\mathsf{ind}}
\newcommand{\ord}{\mathsf{ord}}

\textbf{Oefening 1.4.16.}
Als $\sigma = \tau_1 \cdots \tau_m$ is \vspace{-4.5mm} $$\ind(\sigma) = \ind(\tau_1 \cdots \tau_m \id) \stackrel{(1.4.15)}{=} \ind(\id) \overbrace{\pm 1 \dots \pm 1}^{\text{$m$ keer}} \leq 0 + m,$$ en $\ind(\sigma) \equiv \ind(\id) \pm 1 \dots \pm 1 \equiv 0 + 1 \dots + 1 \equiv m \pmod 2$.

\textbf{Oefening 1.4.24.}
Stel $\ord(\sigma)=2k+1$. Voor oneven $\sigma$ is $\sigma^{2k+1}$ oneven, dus als $\sigma^{2k+1} = \id$ (even) moet $\sigma$ wel even zijn.

Niet elke permutatie met even $\ord$ is oneven. $(1~2)(3~4) \in \mathcal S_4$ heeft orde 2, maar is even.

\textbf{Oefening 1.4.25.}
Neem een willekeurige $\sigma(y) \in \{1 \dots n\}$. Als $y = x_i$ geldt:
\begin{align*}
[ \sigma (x_1~x_2 \cdots x_k) \sigma^{-1} ](\sigma(x_i)) &= \sigma((x_1~x_2 \cdots x_k)(x_i))
\\ &= \sigma(x_{(i \bmod n)+1})
\\ &= (\sigma(x_1)~\sigma(x_2) \cdots \sigma(x_k))(\sigma(x_i)).
\end{align*}
Zoniet blijven $y,\sigma(y)$ onveranderd door de cykels en geldt evengoed:
\begin{align*}
[ \sigma (x_1~x_2 \cdots x_k) \sigma^{-1} ](\sigma(y)) &= \sigma((x_1~x_2 \cdots x_k)(y)) = \sigma(y)
\\ &= (\sigma(x_1)~\sigma(x_2) \cdots \sigma(x_k))(\sigma(y)).
\end{align*} 

\textbf{Oefening 1.4.27.}
\newcommand{\Dn}{\mathcal D_n}
\newcommand{\Sn}{\mathcal S_n}
$\Dn$ is een deelgroep van $\Sn$:
\begin{enumerate}[(i)]
	\item $\id = \sigma^0 \in \Dn$.
	\item Elke $\sigma^i \in \Dn$ heeft duidelijk een inverse in $\Dn$, namelijk $\sigma^{n-i}$.
	
	Elke $\sigma^i \tau$ heeft ook een inverse in $\Dn$, namelijk zichzelf: voor alle $y \in \{1 \dots n\}$ geldt modulo $n$ dat $\sigma(y) \equiv y+1$ en $\tau(y) \equiv n-y$ zodat \[\sigma^i(\tau(\sigma^i(\tau(y)))) \equiv n-(n-y+i)+i \equiv y \pmod n.\]
	Met andere woorden, $(\sigma^i \tau)(\sigma^i \tau) = \id$.
	\item Als $x,y \in \Dn$ is hun product $xy \in \Dn$. Er zijn vier gevallen:
	\begin{align*}
		(\sigma^i) (\sigma^j) &= \sigma^{i+j} \in \Dn, \\
		(\sigma^i) (\sigma^j \tau) &= \sigma^{i+j} \tau \in \Dn, \\
		(\sigma^i \tau) (\sigma^j) &= \sigma^{i-j} \tau \in \Dn, \\
		(\sigma^i \tau) (\sigma^j \tau) &= \sigma^{i-j} \tau^2 = \sigma^{i-j} \in \Dn.
	\end{align*}
	Hier gebruiken we het feit dat $\sigma^i \tau \sigma^j = \sigma^{i-j} \tau$: voor alle $y \in \{1 \dots n\}$ geldt modulo $n$ dat \[
	  \sigma^i(\tau(\sigma^j(y))) \equiv n-(y+j)+i \equiv (n-y)+(i-j) \equiv \sigma^{i-j}(\tau(y)).
	\]
\end{enumerate}
De definitie van $\Dn$ zegt ons dat $|\Dn| \leq 2n$; we moeten enkel nog aantonen dat alle beschreven elementen verschillend zijn en dus $|\Dn| = 2n$.
\begin{itemize}
	\item De $\sigma^i$ zijn onderling verschillend: als $i \not\equiv j \pmod n$ is $\sigma^i(1) \equiv 1+i \not\equiv 1+j \equiv \sigma^j(1) \pmod n$ en dus $\sigma^i \neq \sigma^j$.
	\item De $\sigma^i \tau$ zijn onderling verschillend: als $i \not\equiv j \pmod n$ is $\sigma^i\tau(1) \equiv (n-1)+i \not\equiv (n-1)+j \equiv \sigma^j\tau(1) \pmod n$ en dus $\sigma^i\tau \neq \sigma^j\tau$.
	\item Geen enkele $\sigma^i$ is gelijk aan $\sigma^j \tau$, want
	\begin{align*}
	  \sigma^i(1) - \sigma^i(2) &\equiv (1+i)-(2+i) \equiv -1
	  \\&\stackrel{(*)}{\not\equiv} 1 \equiv (n-1+j)-(n-2+j) \\ &\equiv \sigma^j\tau(1)-\sigma^j\tau(2) \pmod n.
	\end{align*} ($*$ geldt omdat $n \geq 3$.)
\end{itemize}
\begin{table}[h!]
	\centering
	% Ik ben niet zot, hoor. Dit is de output van een programmaatje.
\begin{tabular}{c|cccccccc}
	&$\sigma^0$&$\sigma^1$&$\sigma^2$&$\sigma^3$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^3\tau$\\ \hline
	$\sigma^0$&$\sigma^0$&$\sigma^1$&$\sigma^2$&$\sigma^3$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^3\tau$\\
	$\sigma^1$&$\sigma^1$&$\sigma^2$&$\sigma^3$&$\sigma^0$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^3\tau$&$\sigma^0\tau$\\
	$\sigma^2$&$\sigma^2$&$\sigma^3$&$\sigma^0$&$\sigma^1$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^3\tau$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^1\tau$\\
	$\sigma^3$&$\sigma^3$&$\sigma^0$&$\sigma^1$&$\sigma^2$&$\sigma^3\tau$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^2\tau$\\
	$\sigma^0\tau$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^3\tau$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^0$&$\sigma^3$&$\sigma^2$&$\sigma^1$\\
	$\sigma^1\tau$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^3\tau$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^1$&$\sigma^0$&$\sigma^3$&$\sigma^2$\\
	$\sigma^2\tau$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^3\tau$&$\sigma^2$&$\sigma^1$&$\sigma^0$&$\sigma^3$\\
	$\sigma^3\tau$&$\sigma^3\tau$&$\sigma^2\tau$&$\sigma^1\tau$&$\sigma^0\tau$&$\sigma^3$&$\sigma^2$&$\sigma^1$&$\sigma^0$\\
\end{tabular}
	\caption{Een Cayley-tabel voor $\mathcal D_4$.}
\end{table}

\textbf{Oefening 1.4.28.}
$\id \in \mathcal V$ en elk element is zijn eigen inverse. De vermenigvuldiging is ook gesloten, zoals aangetoond door de Cayley-tabel. Dus $\mathcal V$ is een deelgroep.
\begin{table}[h!]
	\centering
	\begin{tabular}{c|cccc}
		&$\id$&$\alpha$&$\beta$&$\gamma$\\ \hline
		$\id$& $\id$&$\alpha$&$\beta$&$\gamma$\\
		$\alpha$& $\alpha$&$\id$&$\gamma$&$\beta$\\
		$\beta$& $\beta$&$\gamma$&$\id$&$\alpha$\\
		$\gamma$& $\gamma$&$\beta$&$\alpha$&$\id$\\
	\end{tabular}
	\caption{Een Cayley-tabel voor $\mathcal V$.}
\end{table}

\end{document}