gistfile1.txt

Podemos enforcarlo como una media ponderada, donde las ponderaciones son una especie de serie geometria, pero con probabilidades que varian. El exito en tiempo T require fracasos para t < T y exito en t = T.

Asi que tenemos que

P(Sucess = T) = Failure(0) * Failure(1) * ... * Failure(t-1) * Sucess(t)

y tambien sabemos que 

Failure(t) = 1 - Sucess(t)

Por inspeccion (ie. sacar de la manga) tenemos tambien que

Sucess(t) = t-1 / t

Por ejemplo, en el primer intento es imposible alcanzar 1000 asi que:

Sucess(1) = 1 - 1 / 1 = 0 / 1 = 0

en el momento 2, la probabilidad es 1/2

Sucess(2) = 2 - 1 / 2 ) 1/2

Al construir la media ponderada mutiplicamos las ponderaciones por el valor de t

Media Ponderada = P(Sucess = 1) * 1 + P(Sucess = 2) *  2 + ... + P(Sucess = T) * T

Podemos ver lo que pasa expandiendo los terminos:

M = (0/1 * 1) + ((1) * 1/2 * 2) + ((1 * 1/2) * 2/3 * 3) + ((1 * 1/2 * 1/3) * 3/4 * 4) + ... 

(estamos agrupando los failures en el primer bloque de parentesis, sucess el segundo termino, y el valor t el tercer termino)

cancelando numeradores y denominadores vemos el siguiente patron:

M = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/2*3 + 1/2*3*4 + ...

M = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/t!

Tenemos el conocido resultado de http://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e343da5fde4d1cc2e44d3740d3d85ad.png

por tanto el

M segun t -> infinite = e

Faltaria derivar correctamente que Sucess(t) = t-1 / t, es un problema de particiones.