(ZF⁻)−3 のモデルについて

gistfile1.md

『キューネン 数学基礎論講義』の置換公理 のページの内容について質問があります。 「万有集合をもつモデルは基礎の公理 (A2) をみたさない」というのは本当でしょうか?

$A$の$0$を除くすべての要素は$0$を要素に持つので、

• $x=0$の場合:$\exists y\in A(y{\in }_{\mathfrak{A}}x)$が成り立たないのでよい。
• $x\ne 0$の場合:$y$として$0$を取れば$0{\in }_{\mathfrak{A}}x\wedge \neg \exists z\in A(z{\in }_{\mathfrak{A}}x\wedge z{\in }_{\mathfrak{A}}0)$が成り立つのでよい。

となって、A2が$\mathfrak{A}$で成り立っているように見えます。内包公理があると万有集合から万有集合のみを要素に持つ集合が作れてしまうのでだめですが、内包公理がないので問題ないはずです。

@1995hnagamin 突然のメッセージ失礼します。お答えいただけると幸いです。

コメントありがとうございます！
寝起きでまだきちんと検討できていませんが、おっしゃる通り成り立つような気がします。少しお時間ください。

考え直してみましたが、おっしゃる通り $\mathfrak{A}$ は公理 (A2) を満たしていると思います。

基礎の公理は $S_1\ni S_2\ni S_3\ni \cdots$ のような ∋無限列の不存在を保証するものと思いこんでいましたが、(A2) それ自体は $S=\{S,\mathrm{\varnothing }\}$ や $T_1=\{T_2\},T_2=\{T_1\}$ などの集合を直接禁じるものではありませんね。

後でブログ記事を修正します。

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ありがとうございます！